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【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

山東成人高考網www.blogsbazaar.com 發布時間: 2018年04月01日

一元函數積分學知識點睛(定積分)

知識結構:

【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分) 

必備基礎知識

定積分的定義:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上有界——理解即可

1)大化小(把大曲邊梯形分為n個小曲邊梯形):,在【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)中任意插入若干個分點:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

把區間【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)分割成n個小區間【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),

各小區間的長度依次為【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

2)常代變(用小矩形近似的代替每一個小曲邊梯形):在每個小區間【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上任取一點【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)作函數值【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)與小區間長度【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)的乘積【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),

3)近似和(n個小矩形的面積之和近似的等于大曲邊梯形的面積):作和式【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

4)取極限(無限細分,得到大曲邊梯形的面積):【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)如果不論對【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)怎樣的分法,也不論在小區間【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上點【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)怎樣取法,只要當【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),和【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)總趨于確定的極限I,我們就稱這個極限I為函數【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在區間【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上的定積分,記為

【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

其中【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)叫做被積函數,【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)叫做被積表達式,x叫做積分變量,【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)叫做積分區間.

定積分的幾何意義:——理解即可

在區間[a,b]上,f(x)30時,積分【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在幾何上表示由曲線y=f(x)、兩條直線x=ax=bx軸所圍成的曲邊梯形的面積;f(x)0時,由曲線y=f(x)、兩條直線x=ax=bx軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方,定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值;

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定積分的性質——紅色部分要掌握

兩點規定:

(1)當a=b,【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

(2)當a>b,【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質1函數的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即

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性質2被積函數的常數因子可以提到積分號外面即:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質 3  如果將積分區間分成兩部分 則在整個區間上的定積分等于這兩部分區間上定積分之和 即:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質4如果在區間[ab]上f(x)o1則:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質5如果在區間[a, b]上f(x)30,則:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

推論1如果在區間[a, b]上f(x)g(x)則:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

推論2【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

性質6設Mm分別是函數f(x)在區間[a, b]上的最大值及最小值,

【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

性質7(定積分中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a, b]上連續,則在積分區間[a, b]上至少存在一個點,使下式成立:【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

積分上限函數

設函數f(x)在區間[a,b]上連續,并且設x[a,b]上的一點. 我們把函數f(x)在部分區間[a,x]上的定積分【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)稱為積分上限的函數.它是區間[a,b]上的函數,記為:F(x)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),F(x)=【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

積分上限函數的導數

定理如果函數f(x)在區間[a,b]上連續,則函數F(x)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)[a,b]上具有導數,并且它的導數為:

F(x)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(ax<b).

牛頓--萊布尼茨公式

定理如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數,

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此公式稱為牛頓--萊布尼茨公式,也稱為微積分基本公式.

無窮區間上的廣義積分的概念

1)函數【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在無窮區間[a,+)上的廣義積分的定義:

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在廣義積分的定義式中,如果極限存在,則稱此廣義積分收斂;  否則稱此廣義積分發散.

2)函數【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在無窮區間(-,b]上的廣義積分的定義:

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3)函數【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在無窮區間(-,+)上的廣義積分的定義:

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主要考察知識點和典型例題:

考點一:變上限積分求導

變上限積分主要考查它的求導性質,考試時遇到變上限積分的問題都要進行求導,主要的考查題型是:直接給一個變限積分,進行求導;定積分求導;含有變限積分的極限問題。

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根據變上限積分的求導公式,變上限積分求導就等于被積函數:

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解:解此題需要注意【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)不是積分上限函數,而是常數,所以【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)0。

典型例題【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分).(分析:這是【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)型不定式,應用洛必達法則.)

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考點二:利用萊布尼茲公式直接計算

根據牛—萊公式【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),計算定積分就是計算不定積分,區別在于不定積分加常數C,定積分加積分區間【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分),定積分的計算方法和不定積分的計算方法沒有什么區別,只需要注意積分限的變化。

典型例題【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

解由于arctanx【山東成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)的一個原函數,所以

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